Równowaga Nasha (Nash Equilibrium) – Teoria Gier

Gry to nie tylko zabawy, wersje planszowe czy komputerowe rozumiane jako rozrywka. Z grami mamy do czynienia na co dzień. Zwykłe, podejmowane każdego dnia decyzje to nic innego jak gry choć nie zdajemy sobie z tego sprawy. Mimo że podjęcie jakiejś banalnej decyzji wydaje nam się oczywiste, mechanizmy ukryte pod powłoką lekkości i naturalności tego zadania są bardziej skomplikowane. Równowaga Naha to pojęcie może obce dla ciebie w tej chwili , ale wierz mi że miałeś z nią do czynienia wiele razy, być może dziś.

Czym są gry i jaki mają wpływ na świat

Gry są z nami od początku dziejów świata. Nie chodzi tu tylko o wielkie konflikty, wojny czy bitwy. Gry towarzyszą nam każdego dnia. Można by powiedzieć, że całe nasze życie oparte jest na grach. Nawiązując do słów noblisty z dzieciny ekonomii z roku 2005, prof.Roberta Aumana wszystko co się dzieje na świecie jest grą. Przykładem z naszego życia może być wybór szkoły. Jeżeli wybierzemy biologię a chcemy w przyszłości zostać astronautą, to może się okazać to trochę trudne. Innym przykładem może być zakup jakiegoś drogiego gadgetu i pod koniec miesiąca może się okazać, że nie mamy pieniędzy na zapłacenie rachunków. Będziemy wstanie gry z zakładem energetyki czy wodociągami. Całe nasze życie składa się z mniejszych lub większych gier, które prowadzimy na różnych etapach życia i często bywa tak, że prowadzimy na raz kilka gier a nie każdą z osobna.

Składniki gry

Gra to sytuacja konfliktowa w której każda ze stron wybiera strategię od których zależy wypłata dla każdego z graczy. Problem decyzyjny to taka gra, w udziale której bierze jedna osoba.

Na grę składają się:

• gracze
• reguły gry
• strategie (i taktyki)
• wyniki
• wygrana (wypłata)

Strategie i taktyki

Strategia to plan działania gracza mający (jego zdaniem) doprowadzić go do określonego dla niego celu. Nie musi być widoczna lecz ma za zadanie doprowadzić w końcu do celu. Na strategię składają się poszczególne (może ich być jedna lub wiele) taktyki czyli tak jakby części wykonawcze strategii. Są to określone (przeważnie krótkoterminowe) działania mające na celu wykonanie planu strategicznego.

Równowaga Nasha

Równowagą Nasha nazywamy taki stan gry w którym można zaobserwować następujące warunki:

• każdy gracz zna strategie równowagi innych graczy
• żaden gracz nie może nic zyskać zmieniając tylko swoją własną strategię

Można to przetłumaczyć w ten sposób że aby zyskać jak najbardziej optymalny wynik (wypłatę , wygraną) gracz musiałby mieć wpływ na zmianę strategii obraną przez innych graczy. Równowaga Nasha to taki stan gry, w wyniku której każdy z graczy wygrywa optymalną wygraną, niekoniecznie najwyższą możliwą w danej grze.

Tłumacząc to jeszcze inaczej pomyślmy o “grze” w której wydaje nam się że najwięcej zyskamy wykonując dany ruch (wybierając daną strategię). Wybrana (obstawiana) wygrana wydaje nam się najkorzystniejsza dla nas (właśnie, dla nas). Ale weźmy pod uwagę, że jest inny gracz (lub gracze) i to co  oni zrobią będzie miało wypływ na to co ostatecznie wygramy.

Zobaczmy scenę z filmu “Piękny umysł” (2001) , którego głównym bohaterem jest właśnie John Nash (grany przez Russela Crowe )

Na powyżej zaprezentowanej scenie z filmu “Piękny Umysł” widzimy dokładnie na czym polega Równowaga Nasha. John Nash (Russell Crowe) omawia przykład poderwania pięknej blondynki (wypłata = 2). Jeżeli każdy z graczy (on i jego) koledzy, uderzą do niej zablokuje się nawzajem (wypłata = 0). Rozczarowani tym, że im się nie udało jej zdobyć postanawiają zająć się jej koleżankami lecz te są obrażone bo żadna kobieta nie chcę być “tą drugą” i odchodzą (wypłata = 0). Jeżeli każdy z graczy uda się prosto do koleżanek Pięknej Blondynki, te uradowane że zostały wybrane a nie ich śliczna przyjaciółka, umówią się z graczami na randkę (wypłata = 1).

Widać tu od razu iż lepiej ugrać wypłatę równą 1 (Koleżanka Pięknej Blondynki) niż próbować ugrać wypłatę równą 2 (Piękna Blondynka) gdzie każdy z nich uderzając grupą ma nikłe szanse i w efekcie czego odejść z wypłatą równą 0 na koncie.

Przykład Równowagi Nasha – Dylemat Więźnia

Poniżej znajduje się klasyczny przykład Równowagi Nasha zwany także dylematem więźnia.

Równowaga Nasha – Dylemat więźnia. Tabela wypłat.

Przykład jest klasyczny ale bardzo dobrze obrazuje Równowagę Nasha. Powiedzmy że dwóch więźniów zostało oskarżonych o napad na bank.

Oboje trafiają na do osobnych pokoi gdzie są przesłuchiwani. Każdy z więźniów dostaje wybór wydać tego drugiego (zrzucić na niego winę) albo pozostać cicho i nic nie mówić. Jeżeli oboje postanowią być cicho, oboje dostana po 5 lat.

Jeżeli jeden z więźniów pozostanie cicho a ten drugi będzie mówił i go wyda, ten który siedzi cicho dostanie 20 lat, a ten co mówił dostanie 0 lat i wyjdzie tego samego dnia na wolność.

Jeżeli jednak oboje zdecydują wydać tego drugiego, każdy z nich dostanie po 10 lat.

Niestety więźniowie są osobno i nie mogą się umówić co do wersji. Decyzję muszą podjąć indywidualnie.

Jeżeli więzień B postanowi być cicho myśląc że dostanie tylko 3 lata bo przecież więzień A go nie wyda a jednak więzień A postanowi mówić to więzień A dostanie 0 lat i wyjdzie a więzień B dostanie 20 lat za utrudnianie pracy policji. I na odwrót.

Jeżeli oboje postanowią nie współpracować z policją i być cicho dostaną 3 lata.

A jeżeli oboje postanowią mówić, każdy z nich dostanie po 20 lat.

Konkluzja wynikająca z Dylematu Więźnia

Najlepiej dla każdego więźnia byłoby mówić. Pozostanie cicho wydaje się dobrym kąskiem bo grozi jedynie 3 latami we więzieniu, ale nie mamy pewności że drugi więzień nie postanowi mówić by ratować siebie. Wtedy dostaniemy 20 lat za bycie cicho.

Jeżeli postanowimy mówić to grozi nam najwyżej 10 lat ale także mamy okazję dostać 0 jeżeli “kolega” nic nie powie (choć wtedy policzy się z nami po wyjściu chyba że ma kontakty i będziemy brali udział w wypadku w niewyjaśnionych okolicznościach).

Taki wynik gry to właśnie Równowaga Nasha. Żaden z więźniów nie może wybrać dla siebie opcji gwarantującej najniższą karę. Może to mieć skutek odwrotny. Oboje więc wybierają mówić choć to aż 10 lat. Ale to “optymalnie najniższa” z możliwych wypłat.

Oczywiście więźniowie przed napadem mogliby się umówić, że oboje są cicho i nie idą na współpracę. To byłoby bardzo korzystne rozwiązanie dla każdego z nich. Jednak żaden z więźniów nie wie czy ten drugi nagle nie zechce poprawić swej sytuacji (dostać 0 lat zamiast 10) i zacząć mówić. Światek kryminalistów na swój kodeks ale zaufanie to zawsze wielkie ryzyko.

Kolejnym przykładem jest gra koordynacyjna

Gra koordynacyjna

Gra koordynacyjna to taka, w której bierze udział 2 graczy ale dla każdego z nich dostępne są dwie strategie. Gracze powinni skoordynować swoje działania w celu uzyskania jak najlepszej wypłaty (wygranej).  Poniższy przykład wyboru randki zobrazuje to doskonale.

Macierz wypłat w grze koordynacyjnej z dwiema równowagami Nasha

Przytoczmy przykład z życia codziennego. Powiedzmy że Mężczyzna i Kobieta chcą iść razem na randkę. Może to być oczywiście małżeństwo, które chce spędzić czas razem na czym innym niż siedzenie w domu. Kobieta oferuje wspólne zakupy. Mężczyzna chciałby iść na ryby wraz z Kobietą.

Popatrzmy na znajdującą się wyżej macierz wypłat w tej “grze” (oczywiście wybór miejsca randki jak i inne wybory to oczywiście gra o czym pisałem wyżej).  Jest kilka opcji.

Kobieta nie chce iść na ryby co wydaje się oczywiste. Mężczyzna nie che słyszeć o zakupach. Oboje idą w swoją stronę, randa się nie odbywa i oboje odnotowują wygraną 0 gdyż chcieli iść na randkę co było celem tej gry.

Jeżeli jednak pójdą na ryb, oboje pójdą na wspólną randkę i będą szczęśliwi, lecz Mężczyzna bardziej (2) niż Kobieta (1).  Tak samo w przypadku wspólnych zakupów. Tym razem Kobieta będzie bardziej szczęśliwsza (2) niż Mężczyzna (1) choć oboje będą zadowoleni gdyż to nadal wspólna randka.

Widać mam tu dwie równoważne wypłaty. Oboje (Mężczyzna i Kobieta) muszą działać skoordynowanie i wybrać jedną opcję by wygrać cokolwiek w tej grze.